城南讲马堂

一致收敛保持连续性（3.3.1，3.3.2），由此可以交换序列极限和函数的一致极限（3.3.3），一个有意思的结果是一致收敛函数序列和点列收敛的“对角线”序列也是收敛的（3.3.4）；之后简单讨论了一下有界函数（3.3.5）和一致收敛保持有界性（3.3.6）。习题3.3.8说明一致有界的一致收敛函数乘积仍然一致收敛。

这一节用很多的例子说明逐点收敛（3.2.1）和一致收敛的区别，其核心在于收敛速度的不同，导致逐点收敛不能保持连续性（3.2.4），不能交换极限次序（3.2.5）和积分次序（3.2.6），一致收敛（3.2.7）。逐点收敛和一致收敛的关系很像R上的逐点连续和一致连续，二者之间有很强的关联（习题3.2.1），类似地，一致收敛可以推出逐点收敛，但反之不然（习题3.2.2）；逐点收敛在连续函数的复合下可以保持（习题3.2.3）。

本节讨论函数在某一点的极限值代表什么，函数极限值可以定义在函数定义域的闭包上，对连续函数而言函数极限值有一些等价的命题（3.1.5）