城南讲马堂

这一节拓扑是选读内容，和上一本的8.5节类似，高度很高，难度很大。不想多说。

本节讨论连续性和连通性的关系。首先定义连通性（2.4.1），即能够被两个不相交开集充满的空间是非联通的；（2.4.4）说明连通性只和metric相关，与环境无关；（2.4.5）阐述了在R上联通的等价条件，（2.4.6）正式叙述连续性保持连通性，并推出介值定理（2.4.7）。习题中引入了path-connect（习题2.4.7）、闭包连通性（习题2.4.8）等新概念。

本节讨论连续和compact的关系，连续映射保持compact（2.3.1），用序列compact定义证明比较方便，由此可以证明一般连续意义上的最大值定理（2.3.2）；本节还定义了一般意义上的一致连续（2.3.4），并证明了compact集上连续和一致连续等价（2.3.5），推广了实数集中闭区间上连续函数和一致连续等价的结果。一般情况下一致连续是连续的增强（习题2.3.3），一致连续在复合函数下和直和操作下是保持的（习题2.3.4，习题2.3.5），一致连续在加减法和数乘下保持（线性运算），但是对乘积和除法运算不封闭（习题2.3.6）