城南讲马堂

本节讲乘积空间上的连续。先定义了函数的direct sum，再证出direct sum连续与各分量函数连续是等价的（2.2.1），由此可以证出很多通过二元计算得出的函数连续（2.2.2），以及对连续函数进行代数四则运算得到连续函数（2.2.3）

此节定义了metric space上的连续函数（2.1.1），连续是不受定义域限制的（2.1.2和习题2.1.6），同时也不受值域限制（习题2.1.7）；连续性的性质是：保持收敛性（2.1.4），保持逆像的开闭性（2.1.5），但是连续性不能保持像的开闭性（2.1.6）；复合函数保持连续性（2.1.7）.

这一节讲compact度量空间，compact的定义很重要，一般是用任意open cover存在有限的subcover定义，这里作了一个不一样的尝试，即将compactness定义为每个序列都存在有限子列（1.5.1），这实际上是很多其他书里compact的一个性质。而后（1.5.3）定义了有界集合，这里的定义略有些不准确，erratas中补充了对X的一些附加条件，使得空集和X本身都可以定义为bounded，此有界的定义和Analysis I中实数轴上的定义也是相容的（1.5.4）；之后，开始探索compact和其他性质的关系，可以看出compact是一个非常强的性质，例如compact可以引出complete和bounded（1.5.5），也可以引出closed（1.5.6），并且在欧式空间上closed和bounded可以反推出compact（1.5.7），也就是著名的Heine-Borel定理，当然对一般的metric space无法成立Heine-Borel，需要将bounded换成totally bounded（习题1.5.10）；（1.5.8）将最广泛使用的compact的定义作为一个性质推导出来，并说明这也可以作为compact的定义（习题1.5.11），这是集合式的compact，和我们定义里的序列式compact在拓扑空间上会有所不同（见下一章）；（1.5.9）是实数集中区间套定理的推广；（1.5.10）简述了compact的几个性质：compact的子空间是compact当且仅当其是closed，compact的有限并集是compact，元素有限的集合（包括空集）是compact。