城南讲马堂

推广了之前在实数轴上的Cauchy序列和子序列的概念。先定义metric space上的子列（1.4.1），举了一个的例子（1.4.2），序列收敛则所有子列均收敛至同一极限（1.4.3）；下面定义极限点limit point（1.4.4），其与子列的关系是存在一个子列收敛到极限点（1.4.5），limit point是相对序列而言，adherent point则是针对集合而言，二者有些类似，但不等同（见习题1.4.5）；Cauchy序列的定义和R上类似（1.4.6），收敛序列一定是Cauchy序列（1.4.7），反之则不然（1.4.8），需要complete的要求（1.4.10），但Cauchy序列只要一个子列收敛，原序列就收敛（1.4.9）。最后，（1.4.12）说明了complete和closed在相对拓扑下的关系。习题1.4.8给出了如何将任何一个metric space完备化的方法，事实上R就是Q的完备化。

这一节讲相对拓扑，在不同的拓扑下，开集和闭集的性质会发生变化，这是需要区分相对拓扑的重要理由。先通过两个例子（1.3.1）（1.3.2）有一个直观认识，而后严格定义相对拓扑（1.3.3）和其性质（1.3.4）

这一节介绍了metric space上的点集拓扑，（1.2.1）定义了一个重要的开集：球，并介绍了一些不同度量下球的例子（1.2.2）（1.2.3）；而后定义了内点、外点和边界点（1.2.5），这是定义开集、闭集的重要基础，（1.2.7）（1.2.8）是相应的例子；之后定义闭包closure（1.2.9），并明确三种点和序列极限收敛的关系（1.2.10），实质上closure是内点和边界点集合的并集，是外点的补集（1.2.11）；接下来定义了开集和闭集（1.2.12），以及开集闭集的一些重要性质（1.2.15）。